Ο Κ. Άλεξ Μίλερ γεννήθηκε στις 20 Απριλίου 1927, στη Βασιλεία της Ελβετίας. Η οικογένειά του ήταν αρκετά πλούσια (ο παππούς του ίδρυσε μια εταιρεία σοκολάτας) και μπορούσε να αντέξει οικονομικά  τα εφηβικά ενδιαφέροντα του Müller στο ραδιόφωνο και τα ηλεκτρονικά. Τα πρώτα χρόνια της ζωής του πέρασαν με τους γονείς του στο Σάλτσμπουργκ της Αυστρίας, όπου ο πατέρας του σπούδασε μουσική. Αυτός και η μητέρα του μετακόμισαν αργότερα στο Dornach, κοντά στη γενέτειρά του, στο σπίτι των παππούδων του. και από εκεί μετακόμισαν στο Λουγκάνο, το ιταλόφωνο τμήμα της Ελβετίας. Ο Müller σύντομα έγινε δίγλωσσος. Όταν η μητέρα του, Ίρμα, πέθανε το 1938, ο Μίλερ ήταν μόλις έντεκα ετών. Αυτός και ο πατέρας του, ο Παύλος, ζούσαν στο ανατολικό τμήμα της Ελβετίας, στο Schiers, όπου πήρε τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση στο Ευαγγελικό Κολλέγιο. Έφτασε λίγο πριν από την έναρξη του Β 'Παγκοσμίου Πολέμου και έφυγε λίγο μετά το τέλος του. Υπέθεσε ότι θα σπούδαζε ηλεκτρολόγος μηχανικός μετά το λύκειο, αλλά ένας καθηγητής φυσικής λυκείου στο Evangelical College αναγνώρισε τα ταλέντα του και τον ενθάρρυνε να ακολουθήσει τη φυσική. Αφού ολοκλήρωσε τη στρατιωτική του θητεία στον Ελβετικό Στρατό, εισήλθε στο Τμήμα Φυσικής και Μαθηματικών του Ελβετικού Ομοσπονδιακού Ινστιτούτου Τεχνολογίας (ETH) στη Ζυρίχη. Σκέφτηκε σοβαρά να αλλάξει σε ηλεκτρολόγο μηχανικό, αλλά του μίλησαν. Έλαβε το διδακτορικό του το 1958. 

Από το 1959 έως το 1963 ο Müller εργάστηκε για το Battelle Memorial Institute στη Γενεύη και ήταν λέκτορας στο Πανεπιστήμιο της Γενεύης όπου του δόθηκε ο τίτλος του καθηγητή το 1970. Το 1963 έγινε μέλος του ερευνητικού προσωπικού στο IBM Zurich Research Laboratory, Ruschlikon. Πέρασε τα επόμενα 15 χρόνια ερευνώντας τις ιδιότητες των perovskites - ενώσεων που αποτελούνται από δύο διαφορετικά άτομα μετάλλων και τρία άτομα οξυγόνου. Το έργο του ενίσχυσε τη φήμη του και ανέλαβε επικεφαλής του τμήματος φυσικής του εργαστηρίου το 1972. Διορίστηκε συνεργάτης της IBM το 1982, επιτρέποντάς του την ελευθερία να εργαστεί σε όποια έργα επιθυμούσε. Κατά τη διάρκεια μιας 18μηνης άδειας στις Ηνωμένες Πολιτείες που έληξε το 1980, ο Müller άρχισε να εργάζεται στον τομέα στον οποίο επρόκειτο να γίνει διάσημος, φυσική στερεάς κατάστασης και υπεραγωγιμότητα. Άρχισε να ενδιαφέρεται ιδιαίτερα για μια κατηγορία ενώσεων που είναι γνωστές ως κεραμικά: γυάλινες ενώσεις οξυγόνου και τουλάχιστον ένα μεταλλικό στοιχείο.

Ορισμένα μέταλλα, καθώς και αρκετός αριθμός ενώσεων, δείχνουν μια δραματική αλλαγή στον τρόπο με τον οποίο μεταφέρουν τον ηλεκτρισμό όταν ψύχονται σε πολύ χαμηλές θερμοκρασίες. Αυτά τα υλικά στην πραγματικότητα χάνουν κάθε αντίσταση στη ροή του ηλεκτρισμού εάν ψύχονται σε αρκετά χαμηλή θερμοκρασία. Ανακαλύφθηκαν το 1911, τα φαινόμενα της υπεραγωγιμότητας είχαν απασχολήσει τις προσπάθειες των φυσικών για δεκαετίες. Ωστόσο, ελάχιστη πρόοδος σημειώθηκε στην ανακάλυψη ενός υλικού που θα υπεραγωγιζόταν σε θερμοκρασία άνω των 23 K (23 μοίρες πάνω από το απόλυτο μηδέν ή 250 μοίρες κάτω από το μηδέν στην κλίμακα Centigrade). Τέτοιες χαμηλές θερμοκρασίες καθιστούν δύσκολη την εφαρμογή πρακτικών εφαρμογών υπεραγωγιμότητας.

Ο Müller ήταν πεπεισμένος ότι θα μπορούσαν να ανακαλυφθούν υπεραγωγοί υψηλότερης θερμοκρασίας, αλλά το κόλπο ήταν να καταλάβουμε ποια υλικά θα δοκιμαστούν. Παρόλο που οι perovskites με τους οποίους δούλευε χρόνια κανονικά δεν είχαν καλή ηλεκτρική ενέργεια, υποστήριξε ότι θα μπορούσαν να προκληθούν σε υπεραγωγία μεταβάλλοντας τη σύνθεση των περοβσκίτη. Επιπλέον, μερικές άλλες παρόμοιες ενώσεις είχαν επιδείξει υπεραγωγιμότητα, αλλά όλες αυτές οι ενώσεις άρχισαν να συμπεριφέρονται υπεραγώγιμα σε θερμοκρασίες πολύ χαμηλότερες από το υψηλό ρεκόρ των 23 K. Ο Müller σκέφτηκε ότι οι περοβσκίτες που περιέχουν το στοιχείο νικέλιο μπορεί να συμπεριφέρονται υπεραγώγιμα σε υψηλότερες θερμοκρασίες. Στα μέσα του καλοκαιριού 1983 ζήτησε τη βοήθεια του J. Georg Bednorz, πρώην φοιτητή και τώρα συναδέλφου του στην IBM, στην προετοιμασία δειγμάτων των ενώσεων. Η σχέση Müller και Bednorz ήταν μια από τις αντίθετες αλλά ελκυστικές. Ο Müller, που ονομάζεται "ένας οραματιστής θεωρητικός, ένας φωτεινός, ευαίσθητος Ελβετός φυσικός που του άρεσε να εργάζεται μόνος στο σπίτι", συμπλήρωσε τον Γερμανό ομόλογό του, ο οποίος ήταν ειδικευμένος ερευνητής και του άρεσε να περνά πολλές ώρες στο εργαστήριο. Ο Bednorz εργάστηκε στον ελεύθερο χρόνο του και τα βράδια κάνοντας δείγμα μετά από δείγμα, αλλάζοντας ελαφρώς τις αναλογίες των στοιχείων σε κάθε δείγμα. Δεν βρέθηκε κανένα σημάδι υπεραγωγιμότητας σε κανένα από τα δείγματα. Το έργο σχεδόν τελείωσε, εν μέρει επειδή ο εξοπλισμός που χρησιμοποιήθηκε για τις μετρήσεις της αγωγιμότητας δανείστηκε από άλλη ομάδα, πράγμα που σήμαινε ότι ο Bednorz μπορούσε να δοκιμάσει υπεραγωγιμότητα μόνο το βράδυ. Ο εξοπλισμός ήταν επίσης παρωχημένος. Στα τέλη του 1985, οι συνάδελφοι της IBM συμφώνησαν να επιτρέψουν στον Bednorz να χρησιμοποιεί νέο αυτόματο εξοπλισμό κατά τις κανονικές ώρες εργασίας. ο οποίος ήταν ειδικευμένος ερευνητής και του άρεσε να περνά πολλές ώρες στο εργαστήριο. Ο Bednorz δούλευε στον ελεύθερο χρόνο του και τα βράδια φτιάχνοντας δείγμα μετά από δείγμα, αλλάζοντας ελαφρώς τις αναλογίες των στοιχείων σε κάθε δείγμα. Δεν βρέθηκε κανένα σημάδι υπεραγωγιμότητας σε κανένα από τα δείγματα. 

Εκείνη τη στιγμή άλλαξαν από δείγματα που περιέχουν νικέλιο σε αυτά που περιείχαν χαλκό. Λίγο αργότερα, ο Bednorz διάβασε για το έργο μιας ομάδας Γάλλων φυσικών που ανέφεραν ότι μια ένωση τύπου perovskite που αποτελείται από βάριο (Ba), λανθάνιο (La), χαλκό (Cu) και οξυγόνο (O) έδειξε ηλεκτρική αγωγιμότητα μεταλλικού τύπου σε θερμοκρασία δωματίου. Τον Ιανουάριο του 1986 ο Bednorz άρχισε να προετοιμάζει δείγματα του οξειδίου Ba-La-Cu, αλλάζοντας τις αναλογίες των διαφόρων στοιχείων σε κάθε δείγμα. Τα δείγματα έδειξαν υπεραγωγιμότητα που εμφανιζόταν στους 35 Κ, γκρεμίζοντας το παλιό ρεκόρ με σύγχρονα πρότυπα.

Ο Müller γνώριζε ότι υπήρχαν πολλοί μη υποστηριζόμενοι ισχυρισμοί για υπεραγωγιμότητα σε "υψηλές" θερμοκρασίες (τα 35 K είναι υψηλά σε αυτό το πλαίσιο). Έγιναν πολλές περισσότερες δοκιμές για να βεβαιωθεί ότι τα αποτελέσματα ήταν σωστά. Μέχρι την άνοιξη του 1986 ήταν σίγουροι για το αποτέλεσμά τους, αλλά δεν είχαν τον απαραίτητο εξοπλισμό για να δοκιμάσουν τις μαγνητικές ιδιότητες του δείγματος τους, κάτι που θα έδειχνε χωρίς αμφιβολία ότι η ένωση τους ήταν υπεραγώγιμη. Αποφάσισαν να δημοσιεύσουν τα αποτελέσματά τους ούτως ή άλλως χρησιμοποιώντας τον προειδοποιητικό τίτλο "Possible High [Transition Temperature] Superconductivity in the Ba-La-Cu-O System". Το άρθρο τους εμφανίστηκε τον Σεπτέμβριο του 1986, τον ίδιο μήνα που μπόρεσαν να επιβεβαιώσουν τις μαγνητικές ιδιότητες του δείγματος. Μέχρι τον Νοέμβριο δύο ομάδες φυσικών επιβεβαίωσαν ότι το δείγμα τους έγινε υπεραγώγιμο σε 35 Κ. Μετά την παρουσίαση αυτών των ευρημάτων στη συνάντηση της Materials Research Society στη Βοστώνη στις 5 Δεκεμβρίου 1986, ο κόσμος γνώριζε ότι η δομή Müller-Bednorz 2-1-4 (που ονομάζεται λόγω της διάταξης της διάταξης κρυστάλλων που μοιάζει με περοβσκίτη) ήταν υπεραγωγός. Ο Müller και ο Bednorz είχαν επίσης ξεκινήσει να εργάζονται σε μια ένωση 1-2-3 του yttrium, του βαρίου και οξειδίου του χαλκού, η οποία επίσης αποδείχθηκε υπεραγωγός.

Η ανακάλυψή τους, ενώ στην αρχή συναντήθηκε με σκεπτικισμό, πυροδότησε μια αναταραχή έρευνας για παρόμοιες ενώσεις. Οι φυσικοί συνειδητοποίησαν ότι αυτή η νέα κατηγορία υπεραγώγιμων ενώσεων τους έφερε ένα βήμα πιο κοντά σε πρακτικές εφαρμογές μεγάλης κλίμακας, που ήταν το όνειρό τους από το 1911. Με τέτοιες εντυπωσιακές εξελίξεις, πραγματοποιήθηκε μια ειδική συνεδρία για τους νέους υπεραγωγούς τον Μάρτιο του 1987 στη συνάντηση της Αμερικανικής Εταιρείας Φυσικής στη Νέα Υόρκη. Η συνεδρία έγινε ιστορική λόγω του πρωτοφανούς αριθμού των παρευρισκομένων. Ως εκ τούτου, συχνά αναφέρεται ως "Woodstock της φυσικής". Τα ευρήματά τους για υπεραγωγιμότητα σε υψηλότερες θερμοκρασίες ήταν εκπληκτικά και το επίτευγμά τους εξαπλώθηκε γρήγορα μεταξύ των φυσικών και του κόσμου. Άλλα πειράματα συνέχισαν να επιβεβαιώνουν τα αποτελέσματά τους.

Μετά το Νόμπελ του, ο Müller συνέχισε να εργάζεται σε κεραμικά υπεραγωγιμότητας στο εργαστήριό του IBM. Εκτός από το βραβείο Νόμπελ, ο Müller τιμήθηκε επίσης με το Marcel-Benoist Prize (1986), το Thirteenth Fritz London Memorial Award, το βραβείο Dannie Heineman, το βραβείο Robert Wichard Pohl της Γερμανικής Φυσικής Εταιρείας (1987), το Hewlett-Packard Europhysics Prize, το American Physical Society International Prize for New Materials Research, το Minnie Rosen Award (1988) και το Special Tsukuba Award (1989). Έλαβε τιμητικά πτυχία από το Πανεπιστήμιο της Γενεύης, Ελβετία, το Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Μονάχου, Γερμανία και το Universita degli Studi di Pavia, Ιταλία (1987). Πανεπιστήμιο του Leuven, Βέλγιο, Πανεπιστήμιο της Βοστώνης, ΗΠΑ, Τελ Αβίβ, Πανεπιστήμιο, Ισραήλ και το Τεχνικό Πανεπιστήμιο του Ντάρμσταντ, Γερμανία (1988) · Πανεπιστήμιο της Νίκαιας, Γαλλία, και Universida Politecnica, Μαδρίτη, Ισπανία (1989) · και το Πανεπιστήμιο του Μπόχουμ, Γερμανία και Universita degli Studi di Roma, Ιταλία (1990). Εξελέγη ως ξένο συνεργαζόμενο μέλος της Ακαδημίας Επιστημών στις Ηνωμένες Πολιτείες το 1989. Ο Müller παντρεύτηκε την Ingeborg Marie Louise Winkler το 1956. Έχουν δύο παιδιά: τον Eric, οδοντίατρο και τη Silvia, νηπιαγωγό.